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Álgebra A 62
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ESCAYOLA
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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA
8.
Hallar la preimagen $T^{-1}(M)$ del conjunto $M$ por la transformación lineal $T$. Interpretar geométricamente.
b) $T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\; T(\vec{v})=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 2 & 0\end{array}\right)\cdot \vec{v}$, para: (i) $M=\{(3,k)\},\; k \in \mathbb{R}$ (ii) $M=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: x_{1}+x_{2}=0\right\}$.
b) $T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\; T(\vec{v})=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 2 & 0\end{array}\right)\cdot \vec{v}$, para: (i) $M=\{(3,k)\},\; k \in \mathbb{R}$ (ii) $M=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: x_{1}+x_{2}=0\right\}$.
Respuesta
i) $M=\{(3,k)\},\; k \in \mathbb{R}$
Reportar problema
En este caso, tenemos que hallar todos los vectores de $\mathbb{R}^{2}$ que cumplen que
$\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{array}\right) \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ k \end{pmatrix}$
Y para esta ecuación matricial con dos incógnitas, $x_1$ y $x_2$, el sistema a resolver es este:
$\begin{cases} x_1 = 3 \\ 2x_1 = k \end{cases}$
Y de acá obtenemos que $x_1 = \frac{k}{2} = 3$, eso implica que esto únicamente va a tener solución si $k = 6$
Entonces, únicamente si $k = 6$, los vectores de $\mathbb{R}^2$ que estamos buscando son los de la forma:
$(x_1,x_2) = (3,x_2)$ con $x_2 \in \mathbb{R}$
En cambio, para $k \neq 6$, no hay ningún vector de $\mathbb{R}^2$ al que, si le aplicamos $T$, obtengamos algo de la forma $(3,k)$
ii) $M=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: x_{1}+x_{2}=0\right\}$
Primero, fijate que los vectores que pertenecen a $M$ (si lo pasas a generadores) son todos los múltiplos del $(1,-1)$, es decir, son de la forma -> $k \cdot (1,-1) = (k,-k)$
Asi que los vectores que estamos buscando en este caso son los que cumplen que...
$\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{array}\right) \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k \\ -k \end{pmatrix}$
El sistema de ecuaciones es:
$\begin{cases} x_1 = k \\ 2x_1 = -k \end{cases}$
De la primera ecuación obtenemos que $x_1 = k$, y de la segunda, $x_1 = -\frac{k}{2}$ -> Estos dos sólo pueden ser iguales si $k = 0$
Por lo tanto, en definitiva estamos buscando los vectores de $\mathbb{R}^2$ que verifican que
$\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{array}\right) \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
De acá obtenemos que $x_1 = 0$. Entonces, los vectores $(x_1,x_2)$ que estamos buscando son tooodos estos...
$(x_1,x_2) = (0, x_2) = x_2 \cdot (0,1)$, con $x_2 \in \mathbb{R}$
Es decir, son los del subespacio $\langle (0,1) \rangle$
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